확률의 기초

표본공간과 사건

표본 공간(sample space): 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과들의 모임
사건(event): 표본 공간의 부분 집합
예) 무작위로 한 학생을 선택하고 "청바지 몇 켤레를 가지고 있습니까?"라고 묻는다면:
- 표본공간 $S = {0, 1, 2, 3, \dots}$
- 사건:
  - 청바지가 없음: $A = {0}$
  - 청바지가 있음: $B = {1, 2, 3, \dots}$
  - 청바지를 5벌 이하 소유: $C = {1, 2, 3, 4, 5}$
  - 홀수 벌의 청바지 소유: $D = {1, 3, 5, \dots}$

확률의 기초 개념

0과 1 사이의 숫자로 사건의 가능성을 표현한 것
- 0에 가까울수록 가능성이 없고, 1에 가까울수록 가능성이 높음
사건 $A$ 의 확률 $P (A)$ 는 다음과 같은 성질을 가짐
- 사건 $A$ 의 확률은 음이 아닌 실수: $P (A) \geq 0$
- 표본공간의 확률은 1: $P (S) = 1$
- $A_{1}, A_{2}, \dots$ 가 상호 배타적인 사건일 경우:

P (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots

사건에 확률을 할당하는 방법

수학적 확률
- $N (S)$ : 표본 공간의 크기
- $N (A)$ : 사건 $A$ 의 크기

P (A) = \frac{N ( A )}{N ( S )}

통계적 확률
- 시행을 $n$ 번 반복했을 때, $A$ 가 $m$ 번 발생하면

P (A) = \frac{m}{n}

주관적 확률
- 믿음의 정도를 확률로 표현
- 예) 내가 응원하는 팀이 올해 우승할 확률은 40%다

확률의 성질

P (A) = 1 - P (A^{c})

P (ϕ) = 0

A \subseteq B \to P (A) \leq P (B)

P (A) \leq 1

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

조건부 확률과 베이즈 정리

$A$ 가 주어진 상태에서 $B$ 의 확률

P (B ∣ A) = \frac{P ( A , B )}{P ( A )}

베이즈 정리

P (B ∣ A) = \frac{P ( A ∣ B ) P ( B )}{P ( A )}

조건부 확률의 예

137명의 사람을 검사했을 때의 결과는 다음과 같습니다.

검사 결과와 실제 질환 여부를 교차한 표

양성 반응의 확률

P (T^{+}) = \frac{44 + 10}{137}

질병에 걸릴 확률

P (D^{+}) = \frac{44 + 23}{137}

검사에서 양성 반응을 보였을 때, 질병에 걸렸을 조건부 확률

P (D^{+} ∣ T^{+}) = \frac{44}{44 + 10}

질병에 걸렸을 때, 검사에서 양성 반응을 보일 조건부 확률

P (T^{+} ∣ D^{+}) = \frac{44}{44 + 23}

곱셈 규칙

곱셈 규칙

P (A \cap B) = P (A ∣ B) P (B) = P (B ∣ A) P (A)

연쇄 규칙

P (A \cap B \cap C \cap \dots) = P (A) P (B ∣ A) P (C ∣ A \cap B) P (\dots ∣ A \cap B \cap C)

독립 사건

사건 $A$ , $B$ 가 독립( $A ⊥ B$ )이면

P (A ∣ B) = P (A)

그리고

P (B ∣ A) = P (B)

두 사건의 곱사건의 확률은

P (A \cap B) = P (A) P (B)

$A ⊥ B$ 이면 다음도 성립:
- $A ⊥ B^{c}$
- $A^{c} ⊥ B$
- $A^{c} ⊥ B^{c}$

퀴즈

문제 1 / 7맞음: 0힌트: 0틀림: 0채점중: 0남음: 7

표본 공간과 사건의 관계를 가장 정확히 설명한 것은 무엇인가요?

○사건은 표본 공간의 부분 집합이다.
○표본 공간은 하나의 사건에 반드시 포함된다.
○사건과 표본 공간은 항상 같은 집합이다.
○사건은 표본 공간과 공통 원소를 가질 수 없다.

퀴즈를 풀려면 대화형 기능을 불러와야 합니다.

표본 공간과 사건의 관계를 가장 정확히 설명한 것은 무엇인가요?

표본 공간에는 가능한 모든 결과가 들어 있고, 사건은 그중 관심 있는 결과들을 모은 것입니다.

사건은 표본 공간의 부분 집합이다.표본 공간은 하나의 사건에 반드시 포함된다.사건과 표본 공간은 항상 같은 집합이다.사건은 표본 공간과 공통 원소를 가질 수 없다.

사건은 표본 공간의 부분 집합이다.

확률의 기초 성질에 해당하지 않는 것은 무엇인가요?

확률은 0과 1 사이에 있고, 표본 공간 전체는 반드시 일어나는 사건입니다.

P (A) \geq 0

P (S) = 1

상호 배타적 사건들의 합집합 확률은 각 사건 확률의 합이다.모든 사건

A

에 대해

P (A) > 1

이다.

모든 사건

A

에 대해

P (A) > 1

이다.

시행을 $n$ 번 반복했을 때 사건 $A$ 가 $m$ 번 발생했다면 통계적 확률은 어떻게 계산하나요?

전체 시행 횟수 중 사건이 발생한 횟수의 비율을 구합니다.

n / m

m / n

N (S) / N (A)

1 - m / n

m / n

사건 $A$ 의 여사건 확률을 이용해 $P (A)$ 를 나타낸 식은 무엇인가요?

한 사건과 그 여사건은 표본 공간 전체를 이루므로 두 확률의 합은 1입니다.

P (A) = P (A^{c})

P (A) = 1 + P (A^{c})

P (A) = 1 - P (A^{c})

P (A) = P (S) + P (A^{c})

P (A) = 1 - P (A^{c})

검사 결과 표에서 양성 반응을 보인 사람이 질병에 걸렸을 조건부 확률 $P (D^{+} ∣ T^{+})$ 은 무엇인가요?

조건이 양성이므로 양성 열의 전체 인원 44+10을 분모로 사용합니다.

44/ (44 + 23)

44/ (44 + 10)

(44 + 10) /137

(44 + 23) /137

44/ (44 + 10)

곱셈 규칙에 따른 $P (A \cap B)$ 의 표현으로 올바른 것은 무엇인가요?

한 사건의 조건부 확률에 조건으로 주어진 사건의 확률을 곱합니다.

P (A ∣ B) + P (B)

P (A) - P (B ∣ A)

P (A ∣ B) P (B)

P (A) / P (B)

P (A ∣ B) P (B)

사건 $A$ 와 $B$ 가 독립일 때 성립한다고 볼 수 없는 관계는 무엇인가요?

독립이면 한 사건의 발생 여부가 다른 사건의 확률을 바꾸지 않지만, 합집합의 확률이 0이라는 뜻은 아닙니다.

P (A ∣ B) = P (A)

P (B ∣ A) = P (B)

P (A \cap B) = P (A) P (B)

P (A \cup B) = 0

P (A \cup B) = 0