연속 확률 분포

연속 확률 변수

• 연속 확률 변수: 표본공간의 원소를 실수에 대응시키는 함수
• 확률 밀도 함수 $f(x)$
  • 확률 변수 $X$가 구간 $A$에 속할 경우, 해당 구간의 면적 = 확률

정규 분포

• 정규 분포(normal distribution): 연속 확률 분포
• 평균 $\mu$(뮤)와 분산 ${\sigma }^2$(시그마 제곱)에 따라 모양이 달라짐
  • $\mu$에서 확률밀도가 가장 높고, 멀어질수록 확률밀도가 낮아짐
  • $\mu$를 기준으로 좌우대칭
  • ${\sigma }^2$이 클수록 넓게 퍼짐
• 이름과 관련된 특이사항
  • 정규 분포라고 하지만 정규적이거나 정상적인 것과는 무관
  • 수학자 가우스의 이름을 따라서 가우시안 분포라고도 함
    • 하지만 가우스가 발견한 것은 아님

정규분포의 확률밀도함수와 누적분포함수

• 확률밀도함수(probability density function)
  • 연속 확률 분포에서 한 점의 확률은 0
  • 대신 확률밀도를 구함

from scipy.stats import norm

m = 175
s = 5

norm.pdf(x=180, loc=m, scale=s)

• 평균 키가 175이고 표준편차가 5인 정규분포에서 180의 확률밀도는 약 0.048

• 이 값은 확률이 아니며, 연속 확률 분포에서 정확히 180일 확률은 0

• 누적분포함수

# 키가 180 이하일 확률
norm.cdf(x=180, loc=m, scale=s)

# 키가 170 이상 180 이하일 확률
norm.cdf(x=180, loc=m, scale=s) - norm.cdf(x=170, loc=m, scale=s)

• 키가 180 이하일 확률은 약 84.13%
• 키가 170 이상 180 이하일 확률은 약 68.27%

시뮬레이션

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

m = 30
s = np.sqrt(21)

data = norm.rvs(loc=m, scale=s, size=365)
plt.hist(data, bins=40, range=[10, 50])

중심극한정리

• 중심극한정리(Central Limit Theorem): 어떤 확률 분포에서 값을 $n$개 독립적으로 뽑아서 더하여 합계를 구할 경우 $n$이 커질수록, 합계의 분포는 정규분포와 점점 비슷해짐
  • 예: 주사위는 1~6이 고르게 나오지만, 주사위를 10번 던져서 합계를 구하면 35 근처에서 가장 많이 나옴
• 이항분포의 경우
  • 이항분포는 베르누이 분포에서 값을 $n$개 뽑아 더한 것과 같음
  • 이항분포가 $n$이 커지면 정규분포와 비슷해짐($\mu =np$, ${\sigma }^2=npq$)

왜 사람의 키의 분포는 정규분포와 비슷할까?

• 키에는 유전자가 크게 관여(일란성 쌍둥이의 키는 거의 비슷)
• 키에 관여하는 유전자는 여러 개
• 유전자들이 독립적으로 유전된다고 가정하면
• 중심극한정리에 따라 키에 대한 유전자의 효과는 정규분포를 따르게 됨
• 실제로는 정규분포와 조금은 맞지 않음
  • 아마도 유전자들의 분포가 다르고, 서로 독립적이지 않음
  • 정규분포로 예상되는 것보다 더 크거나 작은 사람들이 있음
• 주의: 역으로 정규분포를 따른다고 해서 반드시 유전자 때문은 아님