비율의 비교

카이제곱 분포

• 서로 독립이고 정규분포 $N(\mu ,{\sigma }^2)$을 따르는 확률변수 $X_i$를 표준화하면

• 서로 독립인 $Z_i$의 개수 $\nu$를 자유도(degree of freedom)라고 부름
• $Z_i$를 모두 제곱하여 더한 ${\chi }^2$은 자유도가 $\nu$인 카이제곱분포를 따름
• $\chi$는 그리스 문자 "카이"

기대빈도와 관찰빈도

• 귀무가설이 참이면 관찰빈도 $O$는 기대빈도 $E$ 주변에서 변동
• 기대빈도가 충분히 크면 다음 값으로 관찰빈도와 기대빈도의 차이를 표준화

• 각 범주의 표준화된 차이를 제곱하여 더하면 근사적인 카이제곱 통계량을 얻음

• 이 통계량을 이용해 관찰빈도가 기대빈도에서 얼마나 벗어났는지 검정할 수 있음

카이제곱 적합도 검정

• 카이제곱 적합도 검정(chi-square test for goodness of fit)은 표본에서 얻은 분포가 귀무가설에서 가정하는 모집단 분포와 잘 맞는지 알아보기 위해 사용
• 귀무가설: 모집단의 비율은 기대빈도의 비율과 같음
• 예: 브랜드 선호도
  • 50명을 설문했을 때 A 브랜드 31명(62%), B 브랜드 19명(38%)이면 A 브랜드의 선호도가 통계적으로 유의하게 높은가?
  • 100명을 설문했을 때 A 브랜드 62명(62%), B 브랜드 38명(38%)이면 A 브랜드의 선호도가 통계적으로 유의하게 높은가?

Python 카이제곱 적합도 검정

from scipy.stats import chisquare

chisquare([31, 19], [25, 25])
# statistic=2.88, pvalue=0.0897

chisquare([62, 38], [50, 50])
# statistic=5.76, pvalue=0.0164

• 귀무가설: 모집단에서 두 브랜드의 선호도는 50%:50%로 같음
• chisquare에 관찰빈도와 기대빈도 순으로 입력
• 결과로 카이제곱값과 p-value가 출력됨
• 50명 조사: p-value가 0.05보다 크므로 귀무가설 기각 실패
• 100명 조사: p-value가 0.05보다 작으므로 귀무가설 기각
• 같은 비율 차이도 표본이 커지면 발견하기 쉬움

분할표

• 분할표(contingency table)는 행과 열이 서로 다른 범주형 변수의 값을 나타내는 표
• 교차표(cross table) 또는 피봇 테이블(pivot table)이라고도 함
• 표의 각 칸에는 사례 수를 표기

import pandas as pd

hr = pd.read_excel("hr.xlsx")
hr.pivot_table(index="marriage", columns="department", aggfunc="size")

카이제곱 독립성 검정

• 카이제곱 독립성 검정(chi-square test for independence)은 두 범주형 변수 사이에 관계가 있는지 알아보기 위해 사용
• 귀무가설: 두 변수가 독립적임, 즉 관계가 없음
• 예시
  • 남녀 간의 브랜드 선호도 차이
  • 지역별 정당 지지율 차이
  • 혈액형과 성격유형의 관계
• 기대빈도가 작으면 카이제곱 근사가 부정확할 수 있음
  • 기대빈도 5 이상인 셀이 전체의 80% 이상
  • 기대빈도 1 미만인 셀은 없어야 함
• Cramér's V는 두 변수의 관계를 0부터 1까지로 표시
  • 0: 전혀 관련이 없음
  • 1: 완전히 일치

카이제곱 검정 순서도

flowchart TD
    A["귀무가설<br/>두 변수는 연관성이 없다"] --> B{"p < α<br/>(보통 0.05)"}
    B -- "예" --> C["통계적으로 유의한 관계가 있다<br/>두 변수는 연관성이 있다"]
    B -- "아니요" --> D["통계적으로 유의한 관계가 없다<br/>결론을 유보"]

Python 카이제곱 독립성 검정

import pingouin as pg

expected, observed, stats = pg.chi2_independence(
    x="marriage",
    y="department",
    data=hr,
)
expected

observed

stats

• Pearson 행의 pval이 0.310650으로 0.05보다 크므로 귀무가설을 기각하지 않음
• cramer가 약 0.04이므로 두 변수의 관계도 매우 약함